Вопрос 3: Параметрическая и структурная оптимизация. Определения. Примеры применения в проектировании.

Определения

Проектированием называют процесс создания описания, необходимого для построения в заданных условиях еще не существующего объекта, на основе первичного описания этого объекта (задания на проектирование).

Проектирование сводится к решению группы задач синтеза и задач анализа. При этом задачи синтеза связаны с созданием объекта, в то время как задачи анализа - с изучением свойств данного объекта.

Различают синтез структурный и параметрический.

Цель структурного синтеза - получение структурной схемы объекта, содержащей сведения о составе элементов и способах их соединения между собой.

Цель параметрического синтеза - определение числовых значений параметров элементов.

Синтез носит название оптимизации, если определяются наилучшие в заданном смысле структуры и значения параметров. Задачу выбора оптимальной структуры называют структурной оптимизацией, а расчет оптимальных значений параметров при заданной структуре - параметрической оптимизацией.

Постановка задачи оптимизации

Пусть $D$ - область в пространстве параметров $P = (p_1, p_2, \text{...}, p_m)$.

Пусть в этой области определена скалярная функция $W(P)$, удовлетворяющая условию $W(P) \geqslant 0$, при ограничении:

• типов равенств $\phi_k(P) = 0, k = \overline{1, l}$;
• типов неравенств $\psi_k(P) \geqslant 0, k = \overline{1, n}$.

Требуется найти минимум (максимум) $W(P)$ в области $D$ при указанных ограничениях. Если ограничения отсутствуют, имеет место безусловная оптимизация, оптимизация при наличии ограничений носит название условной.

В зависимости от размерности пространства параметров (значения $m$) выделяют одномерную $(m=1)$ и многомерную $(m>1)$ оптимизацию.

Немного матана

В теории оптимизации важными являются понятия локального и глобального минимумов (максимумов) функции, а также понятия унимодальной я неунимодальной функций.

Точка $P'$ называется точкой локального минимума функции $f(P)$, если существует $\delta$-окрестность данной точки, такая, что $\forall P: |P - P'| < \delta \to f(P) \geqslant f(P')$

Значение $f(P')$ носит название локального минимума функции $f(P)$.

Точка $P'$ локального минимума называется точкой глобального минимума, если для всех других точек локального минимума выполняется условие. Значение $f(P')$ при этом носит название глобального минимума.

Унимодальной в некоторой области называется функция, имеющая в данной области одну точку минимума (максимума), в противном случае функция неунимодальна.

Примеры применения в проектировании

Пример с лекции: Остывающая чашка с чаем

Модель: чашка с чаем

Уравнение остывающей чашки: $\frac{d}{dt}T = K(T - T_{air})$

$T_{air}$ - температура воздуха

Оптимизация 1

Структурная оптимизация модели методом Эйлера:

$T_{n+1} = T_n + hK(T_n - T_{air})$

$T' = KT$

$T = T_0 \exp{Kt}$

$T' = KT_0\exp{Kt}$

Параметрическая оптимизация: $K = \text{argmin}\sum{(T_i(K) - \tau_i)^2}$. Минимизация K.

$\tau_i$ - ряд экспериментальных данных

$T_i(K)$ - значения темпиратуры модели

Оптимизация 2

Структурная оптимизация модели уравнением второго порядка:

$\frac{d}{dt}T = r$

$\frac{d}{dt}r = K_1(T - T_{air}) + K_2r$

Параметрическая оптимизация: $K = \text{argmin}\sum{(T_i(K_1, K_2) - \tau_i)^2}$. Минимизация $K_1$ и $K_2$.

$\tau_i$ - ряд экспериментальных данных

$T_i(K_1, K_2)$ - значения темпиратуры модели

Пример из схемотехники: трассировка

Структурная оптимизация: задается размеры платы, набор элементов и их соединения, так чтобы они удволитворяли ТЗ. Так как элементы обладают физическими характиристиками, то они являются константами.

Параметрическая оптимизация: производится минимизация длин дорожек, которые соединяют элементы на плате.

Если результат не удовлетворяет условиям ТЗ, то меняется структурная оптимизация и заново выполняется параметрическая оптимизация.

Если у кого есть курсовая Михалкова, то можно от туда написать инфу