Вопрос 4: Топологическая оптимизация. Понятие, область применения. Методы ESO, BESO, SIMP, Level-Set method. Ограничения при использовании топологической оптимизации.

Топологическая оптимизация. Понятие, область применения

Топологическая оптимизация (ТО) – это оптимизация распределения материала в проектной области при воздействии на нее заданных нагрузок и использовании ограничений различного рода: геометрических, прочностных, жесткостных и др. ТО является видом оптимизации формы конструкции, иногда именуемой оптимизацией компоновки.

Метод ESO (Evolutionary Structural Optimization)

Метод ESO основан на определении уровня напряжений в произвольной части конструкции методом конечных элементов. Индикатором неэффективного использования материала является низкий уровень напряжений (или деформаций) в той или иной части конструкции. В идеале уровень напряжений в конструкции должен быть одинаковым, близким к предельному, но безопасному значению. Из этой концепции следует принцип удаления материала, согласно которому недостаточно нагруженный материал может быть удален, что приводит к удалению отдельных элементов конечно-элементной модели.

Критерий отбраковки - относительный уровень напряжения не превышает порог отбраковки

Уровень напряженности каждого элемента определяется сравнением, например напряжений Мизеса этого элемента $\sigma_{e}^{vm}$, с критическим или максимальным значением напряжений Мизеса в конструкции $\sigma_{max}^{vm}$ Если в результате конечно-элементного анализа элемент удовлетворяет условию: $x = \frac{\sigma_{e}^{vm}}{\sigma_{max}^{vm}} < R_{Ri}$

где $R_{R}$ - предельное значение (коэффициент отбраковки), при котором элемент удаляется.

Напряжения считаются методом конечных элементов.

Пример оптимизации: консольная рама

Недостаток: Удаленный на ранних итерациях материал может быть ползен на последующих, но метод ESO не позволяет восстановить его. Т.о. в ряде случаев он не позволяет получить оптимального решения.

Метод BESO (Bi-directional Evolutionary Structural Optimization)

Метод BESO (или метод двунаправленной эволюционной оптимизации конструкций) позволяет одновременно удалять и добавлять материал в области проектирования. Принципиальное отличие данного метода от ESO заключается в том, что индекс чувствительности пустых элементов определяется путем линейной экстраполяции поля смещений, получаемого в результате конечно-элементного анализа. После этого заполненные элементы с минимаотными значениями индексами чувствительности заполняются удаляются из структуры, а пустые элементы с наибольшими значениями чувствительности заполняются материалом.

Пример:

Метод SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization)

SIMP-метод или метод пенализации для твердого изотропного тела - это метод ТО, основополагающая идея которого заключается в создании поля виртуальной плотности, представляющей аналог некоторой реальной характеристики объекта. Назначение метода состоит в уменьшении податливости конструкции вследствие перераспределения материала в рассматриваемой области пространства при известных граничных условиях. Результатом его использования является получение разнопрочного объекта в рамках рассматриваемой задачи.

Идея метода: Объект имеет области разной виртуальной плотности, от 0 (пустота) до 1 (материал). Дробная плотность не имеет физического смысла и штрафуется с помощью функции P.

Penalization Function

Пример оптимизации консоли:

Level-Set-метод

Основная идея метода Level-Set (установления уровня или множества уровней) состоит в том, чтобы выразить кривую или поверхность в неявном виде. При этом они принимаются в качестве установленного нулевого уровня многомерной функции. Затем прослеживается их деформация с помощью этой функции.

Для заданной области с гладкой границей предполагается существование неявной функции «топологической чувствительности» - чем она больше, тем большее влияние будет иметь удаление текущего элемента.

Пример оптимизации консоли:

Ограничения при использовании топологической оптимизации.

• Типы нагрузки

(a) пространство оптимизации, (b) осевая нагрузка, (c) сгибающая нагрузка, (d) скручивающая нагрузка, (e) комбинированная нагрузка

• Геометрические
• Прочностные
• Жесткостные
• Производственные ограничения и т.д.